慣性moment tensor

角運動量$ \bm{L}と角速度vector$ \bm{\omega}との係数$ \bm Mのこと

$ \bm L=\bm M\cdot\bm\omega

質点の場合の定義

$ \bm M:=m|\bm r|^2(\bm I-\hat{\bm r}\hat{\bm r})

$ m：質点の質量

$ \bm r：質点の位置

$ \bm I：単位tensor

$ \hat{\bm r}：$ \bm rの単位vector

(通常は$ \bm Iを使うが、このページでは$ \bm Iを単位tensorとして使っているため、代わりに$ \bm Mと表記している)

導出

$ \bm\omegaが$ \bm rに直交しない一般的な場合を示す

$ \bm L=\bm r\times\bm p

$ =\bm r\times m\dot{\bm r}

$ =\bm r\times m((\bm I-\hat{\bm r}\hat{\bm r})\cdot\dot{\bm r}+\hat{\bm r}\hat{\bm r}\cdot \bm r)

$ =\bm r\times m(\bm\omega\times\bm r+\hat{\bm r}\hat{\bm r}\cdot\dot{\bm r})

$ =\bm r\times m\bm\omega\times\bm r+\bm r\times\hat{\bm r}\hat{\bm r}\cdot m\dot{\bm r}

$ =\bm r\times m\bm\omega\times\bm r+\bm0

$ \because \bm r\times\bm r=\bm 0

$ =m(\bm\omega\bm r-\bm r\bm\omega)\cdot\bm r

$ =m(|\bm r|^2\bm I-\bm r\bm r)\cdot\bm\omega

$ =m|\bm r|^2(\bm I-\hat{\bm r}\hat{\bm r})\cdot\bm\omega

$ =\bm M\cdot\bm\omega

$ \underline{\therefore\bm L=\bm M\cdot\bm\omega\quad}_\blacksquare

References

$ \bm\omega\bot\bm rの時の導出